Question

9．如圖，在菱形ABCD中，對角線BD=4$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，對角線AC、BD交于點O，以點B為圓心，BC為半徑作圓與BD交于點E，則圖中陰影部分的面積為$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據菱形的性質可得AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，再證明△ABC是等邊三角形，可得CA=BC，然后利用勾股定理計算出CO長，進而得到BC長，然后利用扇形EBC的面積減去△BOC的面積即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，∠OBC=30°，
∴AB=BC=AC，
∵BD=4$\sqrt{3}$，
∴BO=2$\sqrt{3}$，
∵AC⊥BD，∠OBC=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$BC，
∵CO²+BO²=BC²，
∴CO²+（2$\sqrt{3}$）²=（2CO）²，
∴CO=2，
∴BC=4，
∵S_△BOC=$\frac{1}{2}$BO•CO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，
S_扇形EBC=$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{4π}{3}$，
∴陰影部分的面積為$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了菱形的性質，勾股定理的應用，以及扇形的面積，關鍵是掌握菱形菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．