Question

12．（1）尺規(guī)作圖：如圖a，已知∠MON，作∠MON的平分線OP，并在OP上任取一點Q，分別在OM、ON上各取一點S、T，作△OSQ和△OTQ，使得△OSQ≌△OTQ．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
①如圖b，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖c，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而①中的其它條件不變，請問，你在①中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作∠MON的平分線OP，再以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OM、ON與S、T，利用SAS可判定△OSQ≌△OTQ；
（2）①過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FG=FH=FK，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠GFH=120°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFC=120°，根據(jù)對頂角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角邊”證明△EFG和△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FE=FD．
②過點F分別作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥BC于點H，首先證明∠GEF=∠HDF，再證明△EGF≌△DHF可得FE=FD．

解答 解：（1）如圖a所示：

（2）①EF=DF，
如圖b，過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴FG=FH=FK，
在四邊形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFG=∠DFH}\\{∠EGF=∠DHF=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD．
EF=FD仍然成立．

②如圖c，
過點F分別作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥BC于點H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴∠2+∠3=60°，F(xiàn)是△ABC的內(nèi)心，
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的內(nèi)心，即F在∠ABC的角平分線上，
∴FG=FH（角平分線上的點到角的兩邊相等）．
又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性質(zhì)），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF與△DHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠HDF}\\{∠FGE=∠FHD=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

點評 此題考查全等三角形的判定方法和性質(zhì)定理，以及復雜作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，掌握全等三角形的判定：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．