Question

3．如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，下面四個結論正確的有（　　）個．
①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度數不變，始終等于60°；④當第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒時，△PBQ為直角三角形．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由三角形ABC為等邊三角形，得到三邊相等，且內角為60°，根據題意得到AP=BQ，利用SAS得到三角形ABQ與三角形CAP全等；由全等三角形對應角相等得到∠AQB=∠CPA，利用三角形內角和定理即可確定出∠CMQ的度數不變，始終等于60°；分∠QPB與∠PQB為直角兩種情況求出t的值，即可作出判斷．

解答 解：BP不一定等于CM，選項①錯誤；
根據題意得：AP=BQ=t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=AC，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=AP}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），選項②正確；
∴∠AQB=∠CPA，
在△APM中，∠PMA=180°-∠APM-∠PAM，
∵∠CMQ=∠PMA=180°-∠APM-∠PAM，
在△ABQ中，∠ABQ=60°，
∴∠AQB+∠BAQ=120°，
∴∠PAM+∠APM=120°，
∴∠CMQ=∠PMA=60°，選項③正確；
若∠PQB=90°，由∠PBQ=60°，得到PB=2BQ，即4-t=2t，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
若∠QPB=90°，由∠PBQ=60°，得到BQ=2PB，即t=2（4-t），
解得：t=$\frac{8}{3}$，
綜上，當第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒時，△PBQ為直角三角形，選項④正確，
故選C

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．