Question

8．如圖，△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，C=10．

（1）若這個三角形的周長為24，試求它的面積；
（2）若a=6，點P在直角邊BC、AC上移動，過點P作PQ⊥AB與Q，連結PB（P在AC上）或連結AP（P在BC上）．當PQ與BP（或AP）將△ABC分成的三個直角三角形中有兩個是全等三角形，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性質結合已知c的值得出ab的值即可得出答案；
（2）分別利用若P在BC上，可有△ACP≌△AQP，若P在AC上，可有△BCP≌△BQP，若P在AC上，也可有△AQP≌△BQP，分別求出答案．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=14}\\{{a}^{2}+^{2}=100}\end{array}\right.$，
則（a+b）²=196=a²+b²+2ab，
故ab=48，
故它的面積為24．

（2）①如圖1，
若P在BC上，可有△ACP≌△AQP，設CP=x，則BP=6-x，AQ=AC=8，
故BQ=2，
則2²+x²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{8}{3}$，
利用勾股定理可得：
AP=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+{8}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$；

②如圖2，
若P在AC上，可有△BCP≌△BQP，設CP=x，
易得4²+x²=（8-x）²，
解得x=3．得AP=5；

③如圖3，若P在AC上，也可有△AQP≌△BQP，
設AP=x，易得6²+（8-x）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{4}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理和完全平方公式的應用，正確利用分類討論得出是解題關鍵．