Question

13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=6，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，CD=5．
（1）求線段AC的長；
（2）求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質得到AB=2CD=10，根據勾股定理計算即可；
（2）連接BE，設AE=x，根據線段垂直平分線的性質得到BE=AE=x，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分線，
∴CD為中線，
∵∠C=90°，
∴AB=2CD=10，
∵∠C=90°，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\sqrt{100-36}=8$；
（2）連接BE，
設AE=x，
∵AB的垂直平分線，
∴BE=AE=x，
∴CE=8-x，
∵∠C=90°，
∴CE²+BC²=BE²，
∴（8-x）²+6²=x²，
解得：$x=\frac{25}{4}$，
∴線段AE的長為$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質和勾股定理的應用，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．