Question

12．方程（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）+5x²-5x+1=0的全部相異實根為（　　）

• A． 1，-1
• B． 1，-1，-2
• C． 1，-1，-2，2
• D． 以上均不對

Answer 1

分析 假設（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）=（A-B）（A+B），然后分別求出A與B的表達式，進而將原方程化為關于A、B的方程．

解答 解：設（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）=（A-B）（A+B），
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B={x}^{3}-3{x}^{2}+4x-3}\\{A-B={x}^{3}+2{x}^{2}-x-1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{A={x}^{3}-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{3x}{2}-1}\\{B=-\frac{5{x}^{2}}{2}+\frac{5x}{2}-1}\end{array}\right.$
∴原方程化為：（A+B）（A-B）-2B+1=0，
∴A²-（B-1）²=0
∴（A+B-1）（A-B+1）=0，
∴x³-3x²+4x-4=0或x³+2x²-x-1+1=0，
當x³-3x²+4x-4=0時，
∴（x-2）（x²-x+2）=0，
∴x=2或x²-x+2=0（無解），
當x³+2x²-x-1+1=0時，
∴x（x²+2x-1）=0，
∴x=0或x²+2x-1=0，
∴x=0或x=-1±$\sqrt{2}$
故x=0或x=2或x=-1±$\sqrt{2}$
故選（D）

點評 本題考查高次方程的解法，解題的關鍵是設（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）=（A-B）（A+B）進而求出A與B的表示，最后將其轉為一元二次方程來進行解答．