Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，線段OD=OC．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△CDM是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，連接QE．若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)的移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3．將C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）①C為直角頂點(diǎn)時(shí)，作CM⊥CD，CM交拋物線與點(diǎn)M，先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CM的解析式，然后求得直線CM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；②D為直角頂點(diǎn)時(shí)，作DM⊥CD，先求得直線MD的解析式，然后將直線CM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）存在．作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度，然后過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸，然后依據(jù)勾股定理可求得C′C″的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3．
將C（0，1）代入得：4a+3=1，解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）2+3=-$\frac{1}{2}$x2+2x+1．

（2）①C為直角頂點(diǎn)時(shí)
如圖①：作CM⊥CD，CM交拋物線與點(diǎn)M．

設(shè)直線CD為y=kx+1．
∵OD=OC
∴OD=1
∴D（1，0）
把D（1，0）代入y=kx+1得：k=-1，
∴y=-x+1．
∴直線CM的解析式為：y=x+1，則：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+1}\end{array}\right.$，解之得：M（2，3 ），恰好與Q點(diǎn)重合．
②D為直角頂點(diǎn)時(shí)：如圖②所示：

設(shè)直線MD的解析式為y=x+b，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：1+b=0，解得b=-1，
∴MD的解析式為y=x-1．
將y=x-1與y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+1聯(lián)立解得：x=$\sqrt{5}$+1或x=$\sqrt{5}$-1．
則M為（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．
綜上所述，符合題意的M有三點(diǎn)，分別是（2，3 （$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．

（3）存在．
如圖③所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度．

在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長(zhǎng)=F′C″+F′P′+P′C′．
∵F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線段，
∴F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長(zhǎng)大于△PCE的周長(zhǎng)．）
如答圖④所示，連接C′E．

∵C，C′關(guān)于直線QE對(duì)稱，△QCE為等腰直角三角形，
∴△QC′E為等腰直角三角形，
∴△CEC′為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，5）．
∵C，C″關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為（0，-1）．
過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=$\sqrt{C′{N}^{2}+C″{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1是解答問題（2）的關(guān)鍵，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段C′C″的長(zhǎng)是解答問題（3）的關(guān)鍵．