Question

6．如圖，⊙O的直徑AB=2，C是弧AB的中點(diǎn)，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，以E為圓心，AE為半徑作扇形EAB，π取3，則陰影部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{13}{4}$$\sqrt{2}$-4
• B． 7$\sqrt{2}$-4
• C． 6-$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}-5}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)AB是⊙O的直徑，得到∠C=90°，根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和得到∠AEB=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CBA）=135°，連接EO，推出EO為Rt△ABC內(nèi)切圓半徑，根據(jù)三角形的面積得到EO=$\sqrt{2}$-1，根據(jù)勾股定理得到AE²=AO²+EO²=1²+（$\sqrt{2}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)扇形和三角形的面積即刻得到結(jié)論．

解答 解：∵⊙O的直徑AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CBA）=135°，
連接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO為Rt△ABC內(nèi)切圓半徑，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）•EO=$\frac{1}{2}$AC•BC，∴EO=$\sqrt{2}$-1，
∴AE²=AO²+EO²=1²+（$\sqrt{2}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，
∴扇形EAB的面積=$\frac{135π（4-2\sqrt{2}）}{360}$=$\frac{9}{4}$（2-$\sqrt{2}$），△ABE的面積=$\frac{1}{2}$AB•EO=$\sqrt{2}$-1，
∴弓形AB的面積=扇形EAB的面積-△ABE的面積=$\frac{22-13\sqrt{2}}{4}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$⊙O的面積-弓形AB的面積=$\frac{3}{2}$-（$\frac{5}{2}$-$\frac{7}{4}$$\sqrt{2}$）=$\frac{13}{4}$$\sqrt{2}$-4，
故選A，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形的面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，知道EO為Rt△ABC內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．