Question

17．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，G是BF的中點．求證：
（1）AF=$\frac{1}{2}$FC；
（2）四邊形AGDF是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）先根據中位線定理證明DG∥AC，再利用△AEF≌△DEG（AAS），得GD=AF，所以AF=$\frac{1}{2}$FC；
（2）根據（1）中的一組對邊平行且相等得結論．

解答 證明：（1）∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=DC，
∵G是BF的中點，
∴DG是△BFC的中位線，
∴DG∥AC，DG=$\frac{1}{2}$FC，
∴∠GDE=∠EAF，
∵E是AD的中點，
∴AE=ED，
在△AEF和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠EAF}\\{∠GED=∠FEA}\\{ED=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEG（AAS），
∴GD=AF，
∴AF=$\frac{1}{2}$FC；
（2）由（1）得：GD∥AF，GD=AF，
∴四邊形AGDF是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、三角形中位線定理、三角形全等的性質和判定，熟練掌握和運用三角形的中位線定理是本題的關鍵．