Question

5．已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對角線的交點，AF平分∠BAC，DH⊥AF于點H，交AC于點G，DH延長線交AB于點E．
求證：BE=2OG．

Answer 1

分析 作OM∥AB交DE于M．首先證明OM是△DEB的中位線，再證明OG=OM即可解決問題．

解答 解：作OM∥AB交DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OD，
∵OH∥BE，
∴EM=DM，
∴BE=2OM，
∵∠OAD=∠ADO=∠BAC=45°，
∵FA平分∠BAC，
∴∠EAH=22.5°，
∵AF⊥DE，
∴∠AHE=∠AHD=90°，
∴∠AEH=67.5°，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADE=22.5°，
∴∠OGD=∠GAD+∠ADE=67.5°，
∵∠AEH=∠OME=67.5°，
∴∠OGM=∠OMG，
∴OG=OM，
∴BE=2OG．

點評 本題考查正方形的性質、三角形的中位線定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．