Question

18．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α°（α為已知常數），以A為頂點作△ADE，使∠BAC=∠DAE，AD=AE，G、H分別為BD、CE的中點．
（1）求證：AG=AH，且∠GAH=α°；
（2）延長BD與直線CE交于點P，補全圖形，并求∠BPC的大小（用含α的代數式表示）；
（3）設AB=a，直接寫出點P到AB的最大距離．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABD≌△ACE，得∠ADB=∠AEC，BD=CE，再證明△ADG≌△AEH，可得結論；
（2）根據△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠ACE，所以∠P=∠BAC=α°；
（3）如圖2中，作△ABC的外接圓，由（2）可知∠P=α=定值，推出點P在$\widehat{AC}$上運動，當點P′是優弧$\widehat{AB}$的中點P′時，點P′到AB的距離最大，作P′E⊥AB于E．求出P′E即可解決問題．

解答 證明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，
∵G、H分別為BD、CE的中點，
∴DG=EH，
∴△ADG≌△AEH，
∴AG=AH，∠GAD=∠HAE，
∴∠GAD+∠DAH=∠HAE+∠DAH=α°，
即∠GAH=α°；

（2）如圖1，由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠ACB+∠ACE，
∴∠P=∠BAC=α°．

（3）如圖2中，作△ABC的外接圓，由（2）可知∠P=α=定值，
∴點P在$\widehat{AC}$上運動，當點P′是優弧$\widehat{AB}$的中點P′時，點P′到AB的距離最大，作P′E⊥AB于E．
∵$\widehat{AP′}$=$\widehat{BP′}$，P′E⊥AB，
∴P′A=P′B，AE=BE=$\frac{1}{2}$a，∠AP′E=′E=$\frac{1}{2}$∠AP′B=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（180°-α）=45°-$\frac{1}{4}$α，
在Rt△AEP′中，tan∠AP′E=$\frac{AE}{P′E}$，
∴P′E=$\frac{\frac{1}{2}a}{tan（45°-\frac{1}{4}α）}$=$\frac{a}{2tan（45°-\frac{1}{4}α）}$．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、圓的有關知識，銳角三角函數，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，重合添加輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．