Question

10．如圖，點A（-1，-2）為正比例函數y=kx的圖象上一點，B（0，4）．
（1）求k的值；
（2）點P為第一象限的正比例函數圖象上一點，BE⊥BP交OP于E，若BP=BE．求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據點A的坐標利用待定系數法即可求出正比例函數解析式；
（2）過點B作BC⊥直線AP于點C，過點P作PD⊥y軸于點D，由點B的坐標結合勾股定理即可得出BC、OC的長度，再根據等腰直角三角形的性質即可得出CP的長度，進而可得出OP的長度，根據正比例函數圖象上點的坐標特征以及勾股定理即可求出OD、DP的長度，從而得出點P的坐標．

解答 解：（1）將點A（-1，-2）代入y=kx，
-2=-1k，
解得：k=2．
（2）過點B作BC⊥直線AP于點C，過點P作PD⊥y軸于點D，如圖所示．
∵正比例函數解析式為y=2x，BC⊥OC，
∴OC=2BC，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$BC．
∵點B（0，4），
∴OB=4，BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∵BE⊥BP，BP=BE，
∴△BEP為等腰直角三角形，
∴CP=BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OP=OC+CP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
∵DP⊥y軸，
∴OD=2DP，OP=$\sqrt{O{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$DP，
∴DP=$\frac{12}{5}$，OD=$\frac{24}{5}$．
∴點P的坐標為（$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求正比例函數解析式以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標利用待定系數法求出正比例函數解析式；（2）根據一次函數圖象上點的坐標特征結合勾股定理求出OD、DP的長度．