Question

14．如圖，四邊形ABCD中，∠ADC的角平分線DE與∠BCD的角平分線CA相交于E點，DE交BC于點F，連結AF，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．
（1）求證：AD∥BC；
（2）當AD=5，DE=3時，求CE的長度．

Answer 1

分析 （1）首先求得∠ADC的度數和∠DCB的度數，根據同旁內角互補，兩直線平行即可證得；
（2）由已知條件易證△DAE≌△DEC，所以可得CE=AE，由勾股定理求出AE的長，進而可得CE的長．

解答 解：
（1）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴AD∥BC；
（2）∵∠DCC=180°-∠ACD-∠CDE=90°，
∴DF⊥AC，
在△DAE和△DEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDE}\\{∠DEA=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DEC，
∴CE=AE，
在Rt△DEA中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=4，
∴CE=4．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質、平行線的判斷以及勾股定理的運用，證明CE=AE是解題的關鍵．