Question

19．已知EF∥MN，一直角三角板如圖放置．∠ACB=90°．
（1）如圖1，若∠1=60°，則∠2=30度；
（2）如圖2，若∠1=∠B-20°．則∠2=20度；
（3）如圖3，延長AC交直線MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，問∠GKD是否為定值，若是求值，不是說明理由．

Answer 1

分析 （1）過C作CP∥EF，進而得到EF∥MN∥CP，根據平行線的性質，即可得出∠2的度數；
（2）過B作BQ∥EF，進而得到EF∥MN∥BQ，根據平行線的性質，即可得到∠2的度數；
（3）先根據∠CGN是△CDG的外角，得到∠DCG=∠CGN-∠ADG，再根據GH平分∠CGN，DK平分∠ADN，即可得出∠KGN=$\frac{1}{2}$∠CGN，∠KDG=$\frac{1}{2}$∠ADG，最后根據∠KGN是△KDG的外角，且∠ACB=90°，即可得到∠GKD=∠KGN-∠KDG=$\frac{1}{2}$∠CGN-$\frac{1}{2}$∠ADG=$\frac{1}{2}$∠DCG，根據∠DCG的度數不變，可得∠GKD為定值45°．

解答 解：（1）如圖1，過C作CP∥EF，
∵EF∥MN，
∴EF∥MN∥CP，
∴∠1=∠ACP=60°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=90°-60°=30°，
∵CP∥MN，
∴∠2=∠BCP=30°；
故答案為：30；

（2）如圖2，過B作BQ∥EF，
∵EF∥MN，
∴EF∥MN∥BQ，
∴∠1=∠ABQ，∠2=∠CBQ，
∴∠1+∠2=∠ABC，
又∵∠1=∠ABC-20°，
∴∠1+20°=∠ABC，
∴∠2=20°；
故答案為：20；

（3）∠GKD為定值45°．
理由：如圖3，∵∠CGN是△CDG的外角，
∴∠DCG=∠CGN-∠ADG，
∵GH平分∠CGN，DK平分∠ADN，
∴∠KGN=$\frac{1}{2}$∠CGN，∠KDG=$\frac{1}{2}$∠ADG，
∵∠KGN是△KDG的外角，且∠ACB=90°，
∴∠GKD=∠KGN-∠KDG=$\frac{1}{2}$∠CGN-$\frac{1}{2}$∠ADG=$\frac{1}{2}$（∠CGN-∠ADG）=$\frac{1}{2}$∠DCG=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
故∠GKD為定值45°．

點評 本題主要考查了平行線的性質以及三角形外角性質的運用，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．解決第（3）問時，需要運用：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．