Question

8．設直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$（n為自然數）與兩坐標軸圍成的三角形面積為S_n，則S₁+S₂+…+S₂₀₁₆的值為$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 先利用坐標軸上點的坐標特征求出直線與x軸和y軸的坐標，則利用三角形面積公式得到S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再分別計算出S₁，S₂，S₃，S₂₀₁₅，然后利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$求它們的和．

解答 解：當x=0時，y=$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，則直線與y軸的交點坐標為（0，$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$），
當y=0時，x=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，則直線與x軸的交點坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{n}$，0），
所以S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{n}$•$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
當n=1時，S₁=$\frac{1}{1×2}$，
當n=2時，S₂=$\frac{1}{2×3}$，
當n=3時，S₃=$\frac{1}{3×4}$，
…
當n=2016時，S₂₀₁₆=$\frac{1}{2016×2017}$，
所以S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征：一次函數圖象上點的坐標滿足其解析式，解決此類問題時求出直線與坐標軸的交點坐標．熟練運用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$是解決此題的關鍵．