Question

3．如圖，拋物線L：y=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3）與x軸從左到右的交點為B，A，過線段OA的中點M作MP⊥x軸，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于點P，且OA•MP=8．
（1）求k的值；
（2）求AB長；
（3）求拋物線L的對稱軸與頂點坐標，并求直線MP與L對稱軸之間的距離；
（4）當拋物線向右平移3個單位后，其頂點是否落在雙曲線上，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據點M是OA中點得出OM=$\frac{1}{2}$OA，進而由OA•MP=8，得出OM•MP=4即可得出結論；
（2）令y=0直接求出點A，B坐標即可求出AB；
（3）先確定出拋物線的對稱軸為x=-1，再求出點M的坐標即可得出結論；
（4）先確定出平移后的拋物線的頂點坐標代入雙曲線解析式中判斷即可．

解答 解：（1）設P（x，y）
∵M是線段OA的中點，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA，
∵OA•MP=8，
∴OM•MP=4，
∴xy=4，
∵點P在雙曲線上，
∴k=xy=4；
（2）令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+3），
∴x=1或x=-3，
∴B（-3，0），A（1，0），
∴AB=4；
（3）由（2）知，B（-3，0），A（1，0），
∴拋物線的對稱軸為x=-1，
當x=-1時，y=2，
∴拋物線的頂點坐標為（-1，2），
∵M是OA的中點，A（1，0），
∴M（$\frac{1}{2}$，0），拋物線的對稱軸為x=-1，
∴直線MP與L對稱軸之間的距離為$\frac{3}{2}$；
（4）在雙曲線上，
理由：∵拋物線的頂點坐標為（-1，2），
當拋物線向右平移3個單位后，其頂點坐標為（2，2），
把（2，2）代入雙曲線的解析式為y=$\frac{4}{x}$中，得出，左邊=右邊，
∴（2，2）在雙曲線上．
即：平移后拋物線的頂點落在雙曲線上．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，拋物線與x軸的交點坐標的確定，拋物線頂點坐標的確定，解（1）的關鍵是得出OM=$\frac{1}{2}$OA，解（2）的關鍵是確定出點A，B坐標，解（3）的關鍵是確定出M的坐標，解（4）的關鍵是確定出平移后拋物線的頂點坐標．