Question

12．如圖，以BC為直徑的半圓中，A為弧BC上一點，AC=$\sqrt{3}$，AB=4，D為BC上一點，∠CAD=30°，則AD的長為（　　）

• A． $\frac{9}{5}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 作DH⊥AC于H，如圖，設DH=x，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AD=2x，AH=$\sqrt{3}$x，CH=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}x$，再根據圓周角定理得到∠BAC=90°，接著證明△CDH∽△CBA，利用相似比得到$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$，解得x=$\frac{4}{5}$，從而得到AD=2x=$\frac{8}{5}$．

解答 解：作DH⊥AC于H，如圖，設DH=x，
在Rt△ADH中，∵∠HAD=30°，
∴AD=2x，AH=$\sqrt{3}$x，
∴CH=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}x$，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DHC，
∴AB∥DH，
∴△CDH∽△CBA，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{CH}{CA}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$，解得x=$\frac{4}{5}$，
∴AD=2x=$\frac{8}{5}$．
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在利用相似三角形的性質時只有利用相似比計算線段的長．也考查了圓周角定理．