Question

4．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如圖1，點E為線段AB的中點，連接DE，CE，若AB=4，求線段EC的長；
（2）如圖2，M為線段AC上一點（M不與A，C重合），以AM為邊，構造如圖所示等邊三角形AMN，線段MN與AD交于點G，連接NC，DM，Q為線段NC的中點，連接DQ，MQ，求證：DM=2DQ．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接對角線BD，先證明△ABD是等邊三角形，根據E是AB的中點，由等腰三角形三線合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的長；
（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先證明△ADH是等邊三角形，再由△AMN是等邊三角形，得條件證明△ANH≌△AMD（SAS），則HN=DM，根據DQ是△CHN的中位線，得HN=2DQ，由等量代換可得結論．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，則BD平分∠ABC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中點，
∴DE⊥AB，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠DEA=90°，
在Rt△DEC中，DC=4，
EC=$\sqrt{D{C}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）如圖2，延長CD至H，使CD=DH，連接NH、AH，
∵AD=CD，
∴AD=DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA=∠BAD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴AH=AD，∠HAD=60°，
∵△AMN是等邊三角形，
∴AM=AN，∠NAM=60°，
∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，
∴∠HAN=∠DAM，
在△ANH和△AMD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠HAN=∠DAM}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ANH≌△AMD（SAS），
∴HN=DM，
∵D是CH的中點，Q是NC的中點，
∴DQ是△CHN的中位線，
∴HN=2DQ，
∴DM=2DQ．

點評 本題考查了菱形的性質、三角形的中位線、三角形全等的性質和判定、等邊三角形的性質和判定，本題證明△ANH≌△AMD是關鍵，并與三角形中位線相結合，解決問題；第二問有難度，注意輔助線的構建．