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9.如圖,定義:在直角三角形ABC中,銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切,記作ctanα,即ctanα=$\frac{角α的鄰邊}{角α的對邊}$=$\frac{AC}{BC}$,根據上述角的余切定義,解下列問題:
(1)ctan30°=$\sqrt{3}$;
(2)如圖,已知tanA=$\frac{3}{4}$,其中∠A為銳角,試求ctanA的值.
(3)已知第一象限內的點A在反比例函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上,第二象限內的點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上,且OA⊥OB,ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,直接寫出k的值.

分析 (1)當α=30°時,利用其正切值可求得$\frac{BC}{AC}$的值,根據余切的定義可求得答案;
(2)由正切函數的定義可知$\frac{BC}{AC}$的值,則可求得$\frac{AC}{BC}$的值,可求得ctanA的值;
(3)過點A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為C、D,則可證得△OAC∽△BOD,由ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,可求得其相似比,則可求得△BOD的面積,則可求得k的值.

解答 解:
(1)∵tanα=$\frac{BC}{AC}$,
∴tan30°=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$,
∴ctan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$,
故答案為:$\sqrt{3}$;
(2)在Rt△ABC中,tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$,
∴ctanA=$\frac{4}{3}$;
(3)如圖,分別過點A、B作x軸的垂線,垂足分別為C、D,

∵A在反比例函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上,
∴S△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$×2=1,
∵ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵OA⊥OB,
∴∠AOC+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°,
∴∠AOC=∠OBD,且∠ACO=∠BDO=90°,
∴△OAC∽△BOD,
∴$\frac{{S}_{△OAC}}{{S}_{△BOD}}$=($\frac{OA}{OB}$)2=($\frac{\sqrt{3}}{3}$)2=$\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{1}{3}$,
∴S△BOD=3,
∵S△BOD=$\frac{1}{2}$OD•BD=-$\frac{1}{2}$k,
∴-$\frac{1}{2}$k=3,解得k=-6.

點評 本題為反比例函數的綜合應用,涉及三角函數的定義、特別角的三角函數值、相似三角形的判定和性質、反比例函數中k的幾何意義等知識.在(1)、(2)中理角余切值的定義是解題的關鍵,在(3)中求得△BOD的面積是解題的關鍵.本題為新定義型題目,關鍵是理解題目中所給的新定義,難度不大.

練習冊系列答案
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