Question

9．如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα=$\frac{角α的鄰邊}{角α的對邊}$=$\frac{AC}{BC}$，根據上述角的余切定義，解下列問題：
（1）ctan30°=$\sqrt{3}$；
（2）如圖，已知tanA=$\frac{3}{4}$，其中∠A為銳角，試求ctanA的值．
（3）已知第一象限內的點A在反比例函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，且OA⊥OB，ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直接寫出k的值．

Answer 1

分析 （1）當α=30°時，利用其正切值可求得$\frac{BC}{AC}$的值，根據余切的定義可求得答案；
（2）由正切函數的定義可知$\frac{BC}{AC}$的值，則可求得$\frac{AC}{BC}$的值，可求得ctanA的值；
（3）過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，則可證得△OAC∽△BOD，由ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可求得其相似比，則可求得△BOD的面積，則可求得k的值．

解答 解：
（1）∵tanα=$\frac{BC}{AC}$，
∴tan30°=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴ctan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$；
（2）在Rt△ABC中，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴ctanA=$\frac{4}{3}$；
（3）如圖，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，

∵A在反比例函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD，且∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴$\frac{{S}_{△OAC}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△BOD=3，
∵S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•BD=-$\frac{1}{2}$k，
∴-$\frac{1}{2}$k=3，解得k=-6．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及三角函數的定義、特別角的三角函數值、相似三角形的判定和性質、反比例函數中k的幾何意義等知識．在（1）、（2）中理角余切值的定義是解題的關鍵，在（3）中求得△BOD的面積是解題的關鍵．本題為新定義型題目，關鍵是理解題目中所給的新定義，難度不大．