Question

10．已知OA=OB，點C是∠AOB內一點，點E、F均在射線OC上（點E、F不重合）
（1）如圖①?，若∠AOB=90°，∠AEO=∠BFO=90°，試說明：AE=OF；
（2）如圖②?，若∠AOB=x°（0＜x≤90°），∠AEO=∠BFO=y°，且x+y=180°，AE=OF還成立嗎？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，射線OC繞點O在∠AOB內轉動，AE、OE、EF三條線段始終有怎樣的數量關系？請直接寫出答案，不需要寫過程（考慮問題要全面哦）．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BOF=∠A，進而得出△AOE≌△OBF，即可得出AE=OF；
（2）同（1）的方法即可得出結論；
（3）①借助（2）的結論AE=OF和圖形即可得出結論；
②同（2）的方法得出AE=OF，在借助圖形即可得出結論．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOF=90°，
∵∠AEO=90°，
∴∠A+∠AOC=90°，
∴∠BOF=∠A，
在△AOE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO=90°}\\{∠A=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF，
∴AE=OF，
（2）∵∠AOE+∠A+∠AEO=180°，∠AOB+∠AEO=180°，
∴∠AOE+∠A=∠AOB=∠AOE+∠BOF，
∴∠A=∠BOF，
在△AOE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO}\\{∠A=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF，
∴AE=OF；
（3）①如圖②，

由（2）知AE=OF，
∵OF=OE+EF，
∴AE=OE+EF，
②如圖③，

同（2）的方法得，AE=OF，
∵OF=OE-EF，
∴AE=OE-EF．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等角的余角相等和補角相等，三角形全等的判定和性質，解本題的關鍵是△AOE≌△OBF，用到類比的思想方法解決（2）（3）問，是一道中等難度的中考常考題．