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10.已知OA=OB,點C是∠AOB內一點,點E、F均在射線OC上(點E、F不重合)
(1)如圖①?,若∠AOB=90°,∠AEO=∠BFO=90°,試說明:AE=OF;
(2)如圖②?,若∠AOB=x°(0<x≤90°),∠AEO=∠BFO=y°,且x+y=180°,AE=OF還成立嗎?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,射線OC繞點O在∠AOB內轉動,AE、OE、EF三條線段始終有怎樣的數量關系?請直接寫出答案,不需要寫過程(考慮問題要全面哦).

分析 (1)先判斷出∠BOF=∠A,進而得出△AOE≌△OBF,即可得出AE=OF;
(2)同(1)的方法即可得出結論;
(3)①借助(2)的結論AE=OF和圖形即可得出結論;
②同(2)的方法得出AE=OF,在借助圖形即可得出結論.

解答 解:(1)∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOF=90°,
∵∠AEO=90°,
∴∠A+∠AOC=90°,
∴∠BOF=∠A,
在△AOE和△OBF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO=90°}\\{∠A=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△OBF,
∴AE=OF,
(2)∵∠AOE+∠A+∠AEO=180°,∠AOB+∠AEO=180°,
∴∠AOE+∠A=∠AOB=∠AOE+∠BOF,
∴∠A=∠BOF,
在△AOE和△OBF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO}\\{∠A=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△OBF,
∴AE=OF;
(3)①如圖②,

由(2)知AE=OF,
∵OF=OE+EF,
∴AE=OE+EF,
②如圖③,

同(2)的方法得,AE=OF,
∵OF=OE-EF,
∴AE=OE-EF.

點評 此題是三角形綜合題,主要考查了等角的余角相等和補角相等,三角形全等的判定和性質,解本題的關鍵是△AOE≌△OBF,用到類比的思想方法解決(2)(3)問,是一道中等難度的中考常考題.

練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

11.如圖,點A、B、C、P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40°,則∠P的度數為(  )
A.70°B.60°C.40°D.35°

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

12.為紀念京漢鐵路工人大罷工而修建的二七紀念塔于去年下半年重新整修,一裝修工在塔EF的頂部處測得對面一棟AB=9米高的樓房頂部A的俯角為45°,測得樓房正前方BC=7米處一站牌底部C點的俯角為60°,請你幫助裝修工人計算塔的高度是多少?($\sqrt{3}$≈1.732,結果保留到1米.)

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

9.如圖,定義:在直角三角形ABC中,銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切,記作ctanα,即ctanα=$\frac{角α的鄰邊}{角α的對邊}$=$\frac{AC}{BC}$,根據上述角的余切定義,解下列問題:
(1)ctan30°=$\sqrt{3}$;
(2)如圖,已知tanA=$\frac{3}{4}$,其中∠A為銳角,試求ctanA的值.
(3)已知第一象限內的點A在反比例函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上,第二象限內的點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上,且OA⊥OB,ctanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,直接寫出k的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

5.在△ABC中,已知D為直線BC上一點,若∠ABC=x°,∠BAD=y°.
(1)當D為邊BC上一點,并且CD=AB,x=40,y=30時,求證:AB=AC.
(2)若CD=CA=AB,請寫出y與x的關系式及x的取值范圍.(不寫解答過程,直接寫出結果)

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

15.已知:如圖,△ABC內接于⊙O,AB為直徑,弦CE⊥AB于F,D是弧BC上的一點,CD=AE,連結BD并延長交EC的延長線于點G,連結AD,分別交CE、BC于點P、Q.
(1)求證:AP=PC=PQ;
(2)若sin∠ABC=$\frac{5}{13}$,AP=5,求直徑AB的長;
(3)求證:(FP+AP)2=FP•FG.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

2.某單位一星期內收入和支出情況如下:+853.5元,+237.5元,-325元,+138.5元,-280元,+103元,那么,這星期內該單位是盈利還是虧損?盈利或虧損多少?

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

19.已知EF∥MN,一直角三角板如圖放置.∠ACB=90°.
(1)如圖1,若∠1=60°,則∠2=30度;
(2)如圖2,若∠1=∠B-20°.則∠2=20度;
(3)如圖3,延長AC交直線MN于D,GH平分∠CGN,DK平分∠ADN交GH于K,問∠GKD是否為定值,若是求值,不是說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:填空題

20.如圖,在平面直角坐標系中,點A、B均在函數y=$\frac{k}{x}$(k>0,x>0)的圖象上,⊙A與x軸相切,⊙B與y軸相切.若點A的坐標為(3,2),且⊙A的半徑是⊙B的半徑的2倍,則點B的坐標為(1,6).

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