分析 (1)由于AB是⊙O的直徑,則∠ACB=90°,只需證明P是Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)即可;由垂徑定理易知$\widehat{AC}=\widehat{AE}$,而C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn),那么$\widehat{CD}=\widehat{AE}$,即∠PAC=∠PCA,根據(jù)等角的余角相等,還可得到∠AQC=∠PCQ,由此可證得AP=PC=PQ;
(2)先判斷出∠ABC=∠ACE=∠CAQ,那么它們的正弦值也相等;在Rt△CAQ中,根據(jù)AQ的長及∠CAQ的正弦值,通過解直角三角形可求得AC的長,即可得出結(jié)論;
(3)由(1)知:PQ=CP,則所求的乘積式可化為:CF2=FP•FG;在Rt△ACB中,由射影定理得:CF2=AF•FB,因此只需證明AF•FB=FG•FP即可,將上式化成比例式,證線段所在的三角形相似即可,即證Rt△AFP∽R(shí)t△GFB.
解答 (1)證明:∵C是$\widehat{AD}$的中點(diǎn),
∴$\widehat{AC}=\widehat{CD}$,
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠CAD+∠AQC=90°
又∵CE⊥AB,
∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中,PC=PQ,
∵CE⊥直徑AB,
∴$\widehat{AC}=\widehat{AE}$,
∴$\widehat{AE}=\widehat{CD}$,
∴∠CAD=∠ACE.
∴在△APC中,有PA=PC,
∴PA=PC=PQ;
(2)解:由(1)知,AP=PC=PQ,
∴∠CAQ=∠ACE,
∵CE⊥AB,
∴∠ACE=∠ABC,
∴∠CAQ=∠ABC,
∵sin∠ABC=$\frac{5}{13}$,
∴sin∠CAQ=$\frac{5}{13}$,
∵AP=5,
∴AQ=2AP=10,
在R△ACQ中,AQ=10.
∴sin∠CAQ=$\frac{5}{13}$=$\frac{CQ}{AQ}$,
∴CQ=$\frac{5}{13}$AQ=$\frac{50}{13}$,
根據(jù)勾股定理,AC=$\sqrt{A{Q}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\frac{120}{13}$,
在R△ABC中,sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$,
∴$\frac{\frac{120}{13}}{AB}=\frac{5}{13}$,
∴AB=24;
(3)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°;
∴∠DAB+∠ABD=90°
又∵CF⊥AB,
∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G;
∴Rt△AFP∽R(shí)t△GFB,
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{FP}{BF}$,即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽R(shí)t△CBF,
∴CF2=AF•BF(或由射影定理得)
∴FC2=PF•FG,
由(1)知,PA=PQ,
∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴(FP+PA)2=FP•FG.
點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓心角、弧的關(guān)系,圓周角定理,三角形的外接圓,勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解(2)的關(guān)鍵是求出AC的值,解(3)的關(guān)鍵是AF•BF=FP•FG.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com