Question

5．圖形變換中的數(shù)學(xué)，問題情境：在課堂上，興趣學(xué)習(xí)小組對一道數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD．探索發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖①，BC與BD的數(shù)量關(guān)系是BC=BD；
猜想驗(yàn)證：
（2）如圖②，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想BF，BP，BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
拓展延伸：
（3）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，請?jiān)趫D③中補(bǔ)全圖象，并直接寫出BF、BP、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出BC=$\frac{1}{2}$AB，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法得出BC=BD進(jìn)而得出△BCD是等邊三角形，進(jìn)而判斷出△DCP≌△DBF得出CP=BF即可得出結(jié)論；
（3）同（2）的方法得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BC=BD，
故答案為：BC=BD；
（2）BF+BP=BD，
理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BC=BD，
∴△DBC是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP+BP=BC，
∴BF+BP=BC，
∵BC=BD，
∴BF+BP=BD；
（3）如圖③，BF=BD+BP，
理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BC=BD，
∴△DBC是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，
∴BF=BC+BP，
∵BC=BD，
∴BF=BD+BP．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△DCP≌△DBF，是一道中等難度的中考常考題．