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14.如圖所示,直線AC:y=-2x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax2 +bx+c(a>0)過A,C兩點,與x軸交于另一點B(B在A的右側),且△OBC∽△OCA.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D位拋物線上一點,∠DCA=45°,求點D的坐標.

分析 (1)先求得點A和點C的坐標,從而得到OC和OA的長,然后利用相似三角形的性質求得OB的長,則得到點B的坐標,最后將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式可求得a、b、c的值,從而得到拋物線的解析式;
(2)過點A作AP⊥CD,垂足為P,作PE⊥OB,PF⊥OC,垂足分別為E,F.由題意可知△ACP為等腰直角三角形則AP=CP,然后證明△CPF≌△APE,則CF=AE,OF=OE,設CF=AE=a,則CO-a=AO+a,可求得a=$\frac{1}{2}$.則可得到點P的坐標,接下來再求得直線CP的解析式,最后將直線CP的解析式與拋物線的解析式聯立組成方程組可求得點D的坐標.

解答 解:(1)將x=0代入直線AC的解析式得y=2,
∴C(0,2).
∴OC=2.
將y=0代入得:-2x+2=0,解得x=1,
∴A(1,0).
∴AO=1.
∵△OBC∽△OCA,
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{OC}{OA}$,即$\frac{OB}{2}=\frac{2}{1}$,解得:OB=4.
∴B(4,0).
設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-4),將點C的坐標代入得:4a=2,解得a=$\frac{1}{2}$,
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2.
(2)如圖所示:過點A作AP⊥CD,垂足為P,作PE⊥OB,PF⊥OC,垂足分別為E,F.

∵∠ACP=45°,∠CPA=90°,
∴△ACP為等腰直角三角形.
∴AP=CP.
∵∠CPF+∠FPA=90°,∠FPA+∠APE=90°,
∴∠CPF=∠APE.
在△CPF和△APE中$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠APE}\\{∠PFC=∠PEA}\\{CP=AP}\end{array}\right.$,
∴△CPF≌△APE.
∴CF=AE,FP=EP.
∴四邊形FOAP為正方形.
∴OF=OE.
設CF=AE=a,則CO-a=AO+a,即2-a=1+a,解得:a=$\frac{1}{2}$.
∴OE=$\frac{3}{2}$,OF=$\frac{3}{2}$.
∴點P的坐標為($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$).
設直線CP的解析式為y=kx+2,將點P的坐標代入得:$\frac{3}{2}$k+2=$\frac{3}{2}$,解得:k=-$\frac{1}{3}$.
∴直線CP的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2.
將y=-$\frac{1}{3}$x+2與y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2聯立,解得:x=0(舍去)或x=$\frac{13}{3}$,
將x=$\frac{13}{3}$代入y=-$\frac{1}{3}$x+2得:y=$\frac{5}{9}$.
∴D($\frac{13}{3}$,$\frac{5}{9}$).

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用,求得點A、B、C的坐標是解答問題(1)的關鍵,求得點P的坐標是解答問題(2)的關鍵.

練習冊系列答案
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猜想驗證:
(2)如圖②,若P是線段CB上一動點(點P不與點B,C重合),連接DP,將線段DP繞點D逆時針旋轉60°,得到線段DF,連接BF,請猜想BF,BP,BD三者之間的數量關系,并證明你的結論;
拓展延伸:
(3)若點P是線段CB延長線上一動點,按照(2)中的作法,請在圖③中補全圖象,并直接寫出BF、BP、BD三者之間的數量關系.

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證明:
延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴AC=BF;.

(2)解決問題:如圖3,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線,過點D、E作DF∥EG,分別交BC于F、G,過點A作MN∥BC,分別與FD、GE的延長線交于M、N,則四邊形MFGN周長的最小值是10$\sqrt{2}$+8.

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(2)求△OAM的面積S;
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