Question

4．如圖，一次函數y=mx+5的圖象與反比例函數$y=\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，n）和B（4，1）兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為M，
（1）求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）求△OAM的面積S；
（3）在y軸上求一點P，使PA+PB最小．
（4）在y軸上求一點Q，使Q，A，B為頂點的三角形是等腰三角形．
（5）在y軸上求一點E，使E，A，B為頂點的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）根據點A的坐標，可得OM=4，AM=1，根據S_△OAM=$\frac{1}{2}$×AM×OM計算即可．
（3）如圖1中，作點A關于y軸的對稱點A′（-1，4），連接BA′交y軸于點P，此時PA+PB最小．求出直線BA′的解析式即可解決問題．
（4）分三種情形討論①QA=AB．②QB=AB．③QA=QB，分別求解即可．
（5）方程三種切線討論說明即可．

解答 解：（1）把點B（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=4，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
把A（1，n）代入y=$\frac{4}{x}$得n=4，
∴A（1，4），
把A（1.4）代入y=mx+5得到，m=-1，
∴一次函數的解析式為y=-x+5．

（2）∵A（1，4），AM⊥y軸，
∴AM=1，OM=4，
∴S_△OAM=$\frac{1}{2}$×1×4=2．

（3）如圖1中，作點A關于y軸的對稱點A′（-1，4），連接BA′交y軸于點P，此時PA+PB最小．

設直線BA′為y=mx+n則有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線BA′的解析式為y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
∴點P的坐標為（0，$\frac{17}{5}$）．

（4）如圖2中，∵A（1，4），B（4，1），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

①當QA=AB時，可得Q₁（0，4+$\sqrt{17}$），Q₂（0，4-$\sqrt{17}$）．
②當QB=AB時，可得Q₃（0，1+$\sqrt{2}$），Q₄（0，1-$\sqrt{2}$），
③當QA=QB時，Q₅（0，0）．
綜上所述，滿足條件的點Q坐標為Q₁（0，4+$\sqrt{17}$），Q₂（0，4-$\sqrt{17}$）．Q₃（0，1+$\sqrt{2}$），Q₄（0，1-$\sqrt{2}$），Q₅（0，0）．

（5）如圖3中，

①當∠EAB=90°，可得E₁（0，3）．
②當∠EAB=90°，可得E₂（0，-3）．
③以AB為直徑的圓以y軸沒有交點，可知在y軸上不存在點E，使得E，A，B為頂點的三角形是直角三角形．
綜上所述，滿足條件的點E的坐標為（0，3）或（0，-3）．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的性質、等腰三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質、軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．