Question

2．在學習三角形中位線的性質時，小亮對課本給出的解集辦法進行了認真思考：

小亮發現：可能證法的實質是用中心對稱的方法來構造全等三角形
請你利用小亮的發現解決下列問題：
（1）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF．
請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程；
證明：
延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，
在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴AC=BF；．

（2）解決問題：如圖3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線，過點D、E作DF∥EG，分別交BC于F、G，過點A作MN∥BC，分別與FD、GE的延長線交于M、N，則四邊形MFGN周長的最小值是10$\sqrt{2}$+8．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△BDF≌△CDM進而得出MC=BF，∠M=∠BFM．再判斷出∠M=∠MAC得出AC=MC即可得出結論；
（2）先判斷出四邊形MFGN是平行四邊形，再判斷出MN=FG=DE=4，進而判斷出MF⊥BC時，四邊形MFGN的周長最小，最后構造出直角三角形求出AH即可得出結論．

解答 （1）延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，
在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
故答案為：延長AD至點M，使MD=FD，連接MC，
在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
（2）如圖，

∵MN∥BC，FM∥GN，
∴四邊形MFGN是平行四邊形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴四邊形MFGN周長=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC時，MF最短，
即：四邊形MFGN的周長最小，
過點A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴四邊形MFGN的周長最小為2MF+8=10$\sqrt{2}$+8．
故答案為10$\sqrt{2}$+8．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的中位線，平行四邊形的判定和性質，平行線間的距離，解（1）關鍵是△BDF≌△CDM，解（2）的關鍵是判斷出MF⊥BC時，四邊形MFGN的周長最小．