分析 (1)先判斷出△BDF≌△CDM進而得出MC=BF,∠M=∠BFM.再判斷出∠M=∠MAC得出AC=MC即可得出結論;
(2)先判斷出四邊形MFGN是平行四邊形,再判斷出MN=FG=DE=4,進而判斷出MF⊥BC時,四邊形MFGN的周長最小,最后構造出直角三角形求出AH即可得出結論.
解答 (1)延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴BF=AC;
故答案為:延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴BF=AC;
(2)如圖,
∵MN∥BC,FM∥GN,
∴四邊形MFGN是平行四邊形,
∴MF=NG,MN=FG,
∵DE是△ABC的中位線,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4,DE∥BC,
∴MN=FG=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴四邊形MFGN周長=2(MF+FG)=2MF+8,
∴MF⊥BC時,MF最短,
即:四邊形MFGN的周長最小,
過點A作AH⊥BC于H,
∴FM=AH
在Rt△ABH中,∠B=45°,AB=10,
∴AH=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$,
∴四邊形MFGN的周長最小為2MF+8=10$\sqrt{2}$+8.
故答案為10$\sqrt{2}$+8.
點評 此題是三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質,三角形的中位線,平行四邊形的判定和性質,平行線間的距離,解(1)關鍵是△BDF≌△CDM,解(2)的關鍵是判斷出MF⊥BC時,四邊形MFGN的周長最小.
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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 1cm,1cm,1cm | B. | 5cm,5cm,10cm | C. | 1cm,2cm,3cm | D. | 2cm,3cm,6cm |
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