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2.在學習三角形中位線的性質時,小亮對課本給出的解集辦法進行了認真思考:

小亮發現:可能證法的實質是用中心對稱的方法來構造全等三角形
請你利用小亮的發現解決下列問題:
(1)如圖2,AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求證:AC=BF.
請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程;
證明:
延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴AC=BF;.

(2)解決問題:如圖3,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線,過點D、E作DF∥EG,分別交BC于F、G,過點A作MN∥BC,分別與FD、GE的延長線交于M、N,則四邊形MFGN周長的最小值是10$\sqrt{2}$+8.

分析 (1)先判斷出△BDF≌△CDM進而得出MC=BF,∠M=∠BFM.再判斷出∠M=∠MAC得出AC=MC即可得出結論;
(2)先判斷出四邊形MFGN是平行四邊形,再判斷出MN=FG=DE=4,進而判斷出MF⊥BC時,四邊形MFGN的周長最小,最后構造出直角三角形求出AH即可得出結論.

解答 (1)延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴BF=AC;
故答案為:延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
∴BF=AC;
(2)如圖,

∵MN∥BC,FM∥GN,
∴四邊形MFGN是平行四邊形,
∴MF=NG,MN=FG,
∵DE是△ABC的中位線,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4,DE∥BC,
∴MN=FG=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴四邊形MFGN周長=2(MF+FG)=2MF+8,
∴MF⊥BC時,MF最短,
即:四邊形MFGN的周長最小,
過點A作AH⊥BC于H,
∴FM=AH
在Rt△ABH中,∠B=45°,AB=10,
∴AH=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$,
∴四邊形MFGN的周長最小為2MF+8=10$\sqrt{2}$+8.
故答案為10$\sqrt{2}$+8.

點評 此題是三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質,三角形的中位線,平行四邊形的判定和性質,平行線間的距離,解(1)關鍵是△BDF≌△CDM,解(2)的關鍵是判斷出MF⊥BC時,四邊形MFGN的周長最小.

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