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13.定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“準菱形”,利用該定義完成以下各題:
(1)理解
如圖1,在四邊形ABCD中,若AB=BC(填一種情況),則四邊形ABCD是“準菱形”;
(2)應用
證明:對角線相等且互相平分的“準菱形”是正方形;(請畫出圖形,寫出已知,求證并證明)
(3)拓展
如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BP方向平移得到△DEF,連接AD,BF,若平移后的四邊形ABFD是“準菱形”,求線段BE的長.

分析 (1)直接利用“準菱形”的定義即可得出結論;
(2)先根據題目意思畫出圖形,寫出已知和求證,再用正方形的判定定理即可得出結論;
(3)由“準菱形”的定義分四種情況:利用定義直接得出結論即可.

解答 解:(1)由“準菱形”的定義得出,AB=BC,
故答案為:AB=BC;

(2)已知:如圖,四邊形ABCD是“準菱形”,對角線AC,BD相交于點O,且AC=BD,OA=OC,OB=OD,
求證:四邊形ABCD是正方形;
證明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵AC=BD,
∴平行四邊形ABCD是矩形,
∵四邊形ABCD是“準菱形”,
∴AB=BC,
∴矩形ABCD是正方形;

(3)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,
∴AC=$\sqrt{5}$,
由平移得,BE=AD,DE=AB=2,EF=BC=1,DF=AC=$\sqrt{5}$,
由“準菱形”的定義分四種情況:
①當AD=AB時,BE=AD=AB=2;
②當AD=DF時,BE=AD=DF=$\sqrt{5}$,
③如圖1,當BF=DF=$\sqrt{5}$時,延長FE交AB于點H,
∴FH⊥AB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°,
∴∠BEH=∠ABE=45°,
∴BE=$\sqrt{2}$BH,
設EH=BH=x,
∴FH=x+1,BE=$\sqrt{2}$x,
在Rt△BFH中,BH2+FH2=BF2,
∴x2+(x+1)2=5,
∴x=1或x=-2(舍),
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$;
④如圖1,當BF=AB=2時,
與③的方法一樣得:BH2+FH2=BF2,
設EH=BH=x,
∴x2+(x+1)2=4,
∴x=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$或x=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$(舍),
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$,
綜上所述,BE=2或$\sqrt{5}$或$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$.

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了新定義的理解,正方形的判定,勾股定理,平移的性質,解本題的關鍵是分類討論的思想解決問題,是一道中等難度的中考常考題.

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(1)如圖①,BC與BD的數量關系是BC=BD;
猜想驗證:
(2)如圖②,若P是線段CB上一動點(點P不與點B,C重合),連接DP,將線段DP繞點D逆時針旋轉60°,得到線段DF,連接BF,請猜想BF,BP,BD三者之間的數量關系,并證明你的結論;
拓展延伸:
(3)若點P是線段CB延長線上一動點,按照(2)中的作法,請在圖③中補全圖象,并直接寫出BF、BP、BD三者之間的數量關系.

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請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程;
證明:
延長AD至點M,使MD=FD,連接MC,
在△BDF和△CDM中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△CDM(SAS).
∴MC=BF,∠M=∠BFM.
∵EA=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
∵∠AFE=∠BFM,
∴∠M=∠MAC,
∴AC=MC,
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