Question

20．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E、F分別是BC、AC的中點，延長BA到點D，使AB=2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點O．
（1）試說明AF與DE互相平分；
（2）若AB=8，BC=12，求DO的長．

Answer 1

分析 （1）結合已知條件推知四邊形AEFD是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對角線互相平分；
（2）根據勾股定理求得AC的長度，然后由平行四邊形的性質和勾股定理來求DO的長度．

解答 解：（1）∵E、F分別是BC、AC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}$AB．
又AB=2AD，即AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AF與DE互相平分；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=12，
∴由勾股定理得 AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
又由（1）知，OA=OF，且AF=CF，
∴OA=$\frac{1}{4}$AC=$\sqrt{5}$．
∴在△AOD中，∠DAO=90°，AD=$\frac{1}{2}$AB=4，OA=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理得 DO=$\sqrt{D{A}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．