Question

20．如圖，在直角坐標系中，點A是反比例函數y₁=$\frac{k}{x}$圖象上一點，AB⊥x軸的正半軸于點B，點C是OB的中點，一次函數y₂=ax+b的圖象經過A、C兩點，交y軸于點D（0，-2），△AOB的面積為4
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）若x軸上存在點M（不與點C重合），使得△AOC和△AOM相似，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由△AOB的面積可求得k的值，則可求得反比例函數解析式，由C為OB的中點，可證明△ABC≌△DOC，可求得AB的長，則可求得A點坐標，再利用待定系數法可求得a和b的值，可求得一次函數的解析式；
（2）由一次函數解析式可求得C點坐標，則可求得OC、OA和AC的長，可設M（x，0），由題意可知M在點x軸的正半軸上，又M與點C不重合，故只有△AOC∽△MOA，利用相似三角形的性質可求得OM的長，則可求得M點的坐標．

解答 解：
（1）設A（m，n），則AB=n，OB=m，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OB=$\frac{1}{2}$mn=4，
∴mn=8，
∵點A在反比例函數y₁=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=mn=8，
∴反比例函數解析式為y₁=$\frac{8}{x}$，
∵C為OB的中點，
∴BC=OC，
在△ABC和△COC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠DOC}\\{∠ACB=∠DCO}\\{BC=OC}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DOC（AAS），
∵D（0，-2），
∴AB=OD=2，
∵點A在反比例函數y₁=$\frac{8}{x}$圖象上，
∴A（4，2），
把A、D兩點坐標代入一次函數y₂=ax+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數解析式為y₂=x-2；
（2）在y₂=x-2中，令y₂=0可求得x=2，
∴C（2，0），
∴OC=2，且OA=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在△AOC中，∠ACO為鈍角，
若M點在x軸負半軸上時，則∠AOM＞∠ACO，故兩三角形不可能相似，
∴點M在x軸的正半軸上，可設其坐標為（x，0），則OM=x，
此時∠AOC=∠AOM，故只有△AOC∽△AOM和△AOC∽△MOA，
當△AOC∽△AOM時，由AO=AO，則有OM=OC，即M與點C重合，不合題意，
當△AOC∽△MOA時，則有$\frac{AO}{MO}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{x}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得x=10，
∴M點坐標為（10，0）．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、反比例函數k的幾何意義、函數圖象的交點、相似三角形的判定和性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A點坐標是解題的關鍵，在（2）中確定出相似三角形的對應點是解題的關鍵，注意方程思想的應用．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．