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8.如圖,在△ABC中,AB=AC,將AB邊繞點A按逆時針方向旋轉90°,得到線段AD,AD交BC邊于點E,過點D作AD的垂線,交AC邊的延長線于點F,若AE=9,DF=8,則線段DE的長為6.

分析 過EG∥AB交AF于G,如圖,設DE=x,由旋轉的性質得∠BAD=90°,AB=AD=9+x,則AC=9+x,再證明△AEG∽△ADF,利用相似比可表示出EG=$\frac{72}{9+x}$,接著證明GC=GE=$\frac{72}{9+x}$,于是AG=9+x-$\frac{72}{9+x}$,然后在Rt△AEC中利用勾股定理得到92+($\frac{72}{9+x}$)2=(9+x-$\frac{72}{9+x}$)2,整理得(9+x)2=225,再解方程即可得到DE的長.

解答 解:過EG∥AB交AF于G,如圖,設DE=x,
∵把AB邊繞點A按逆時針方向旋轉90°,得到線段AD,
∴∠BAD=90°,AB=AD=9+x,
∴AC=9+x,
∵AD⊥DF,
∴∠ADF=90°,
∴AB∥DF,
∴EG∥DF,
∴△AEG∽△ADF,
∴$\frac{EG}{DF}$=$\frac{AE}{AD}$,即$\frac{EG}{8}$=$\frac{9}{9+x}$,解得EG=$\frac{72}{9+x}$,
∵EG∥AB,
∴∠GEC=∠B,
而AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠GEC=∠GCE,
∴GC=GE=$\frac{72}{9+x}$,
∴AG=AC-GC=9+x-$\frac{72}{9+x}$,
在Rt△AEC中,92+($\frac{72}{9+x}$)2=(9+x-$\frac{72}{9+x}$)2
整理得(9+x)2=225,解得x1=6,x2=-24(舍去),
即DE的長為6.
故答案為6.

點評 本題考查了旋轉的性質:對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質.

練習冊系列答案
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