Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，將AB邊繞點A按逆時針方向旋轉90°，得到線段AD，AD交BC邊于點E，過點D作AD的垂線，交AC邊的延長線于點F，若AE=9，DF=8，則線段DE的長為6．

Answer 1

分析 過EG∥AB交AF于G，如圖，設DE=x，由旋轉的性質得∠BAD=90°，AB=AD=9+x，則AC=9+x，再證明△AEG∽△ADF，利用相似比可表示出EG=$\frac{72}{9+x}$，接著證明GC=GE=$\frac{72}{9+x}$，于是AG=9+x-$\frac{72}{9+x}$，然后在Rt△AEC中利用勾股定理得到9²+（$\frac{72}{9+x}$）²=（9+x-$\frac{72}{9+x}$）²，整理得（9+x）²=225，再解方程即可得到DE的長．

解答 解：過EG∥AB交AF于G，如圖，設DE=x，
∵把AB邊繞點A按逆時針方向旋轉90°，得到線段AD，
∴∠BAD=90°，AB=AD=9+x，
∴AC=9+x，
∵AD⊥DF，
∴∠ADF=90°，
∴AB∥DF，
∴EG∥DF，
∴△AEG∽△ADF，
∴$\frac{EG}{DF}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{EG}{8}$=$\frac{9}{9+x}$，解得EG=$\frac{72}{9+x}$，
∵EG∥AB，
∴∠GEC=∠B，
而AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GC=GE=$\frac{72}{9+x}$，
∴AG=AC-GC=9+x-$\frac{72}{9+x}$，
在Rt△AEC中，9²+（$\frac{72}{9+x}$）²=（9+x-$\frac{72}{9+x}$）²，
整理得（9+x）²=225，解得x₁=6，x₂=-24（舍去），
即DE的長為6．
故答案為6．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質．