Question

19．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為8．

Answer 1

分析 連接AD交EF與點M′，連結AM，由線段垂直平分線的性質可知AM=MB，則BM+DM=AM+DM，故此當A、M、D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據要三角形三線合一的性質可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據三角形的面積為12可求得AD的長．

解答 解：連接AD交EF與點M′，連結AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×AD=12，解得AD=6，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM．
∴BM+MD=MD+AM．
∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周長的最小值為DB+AD=2+6=8．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．