Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（2，a），半徑為2，直線y=-x與⊙P相交于A、B兩點，若弦AB的長為2$\sqrt{3}$，則a的值是（　　）

• A． -2$\sqrt{2}$
• B． -2+$\sqrt{2}$
• C． -2-$\sqrt{3}$
• D． -2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設⊙P與y軸相切于點C，連接PC，則有PC⊥OC，根據點P的坐標可得⊙P的半徑PC為2，連接CP并延長交直線y=x于點E，則有CE=OC．過點P作PD⊥AB于D，由垂徑定理可求出AD，在Rt△ADP中，運用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，運用三角函數可求出PE，就可求出a的值．

解答 解：設⊙P與y軸相切于點C，連接PC，則有PC⊥OC．
∵點P的坐標為（2，a），
∴PC=2．
①若點P在直線y=x上方，如圖1，
連接CP并延長交直線y=x于點E，則有CE=OC．
∵CE⊥OC，CE=OC，
∴∠COE=∠CEO=45°．
過點P作PD⊥AB于D，
由垂徑定理可得：AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
在Rt△ADP中，
PD=$\sqrt{P{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED=$\frac{PD}{PE}$=$\frac{1}{PE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：PE=$\sqrt{2}$．
∴OC=CE=CP+PE=2+$\sqrt{2}$．
∴a=-2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質、垂徑定理、等腰三角形的性質、勾股定理、矩形的判定與性質等知識，是一道易錯題．