Question

7．（1）閱讀理解：
我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務(wù)可以借助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為P，“寬臂”的寬度=PQ=QR=RS，（這個條件很重要哦�。┕闯叩囊贿匨N滿足M，N，Q三點共線（所以PQ⊥MN）．
下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：
第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；
第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點P落在DE上，使勾尺的MN邊經(jīng)過點B，同時讓點R落在∠ABC的BA邊上；
第三步：標(biāo)記此時點Q和點P所在位置，作射線BQ和射線BP．
請完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線BQ、BP．
（2）在（1）的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過程：
∵PQ=QR，BQ⊥PR，
∴BP=BR．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等
∴∠RBQ=∠PBQ．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠PBQ=∠PBT．
（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）
∴∠RBQ=∠QBP=∠PBT．
（3）在（1）的條件下探究：
∠ABS=$\frac{1}{3}$∠ABC是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請在下圖中∠ABC的外部畫出∠ABV=$\frac{1}{3}$∠ABC（無需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）．

Answer 1

分析 （1）作射線BQ和射線BP，射線BQ和射線BP就是∠ABC的三等分線．
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的三線合一，角平分線的判定定理，即可證明．
（3）等式不成立．如圖作點Q關(guān)于直線AB的對稱點V，連接BS，∠VBA=∠ABQ=$\frac{1}{3}$∠ABC．

解答 解：（1）如圖作射線BQ和射線BP，射線BQ和射線BP就是∠ABC的三等分線，
 
故答案為BQ、BP．             
（2）∵PQ=QR，BQ⊥PR，
∴BP=BR（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等），
∴∠RBQ=∠PBQ．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠PBQ=∠PBT．
（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）
∴∠RBQ=∠QBP=∠PBT，
故答案分別為線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等，RBQ，QBP，PBT．

（3）等式不成立．
如圖作點Q關(guān)于直線AB的對稱點V，連接BS，∠VBA=∠ABQ=$\frac{1}{3}$∠ABC．

點評 本題考查三角形綜合題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用軸對稱構(gòu)造角相等，屬于中考�？碱}型．