Question

17．（1）如圖1，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB=3，BC=6，CD=5，在BC邊上確定一點P，使PA+PD最短，則PA+PD最小值為10．
（2）如圖2，已知△ABC，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，點D為BC邊上的動點，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，連接AD、EF，求EF的最小值．
問題解決
現在有一塊三角形草坪，它的平面圖形為△ABC，為了美化城市風貌，在AB、BC、CA三邊各取一點，分別為E、D、F，以E、D、F為頂點的三角形內種植薰衣草，現需為薰衣草三邊做護欄，為了節省護欄材料，即△DEF周長最小．
（3）如圖3，若∠ABC=30°，BF=4，請在圖3中畫出△DEF周長的最小時，點D，E的位置，說明畫圖的依據，并計算此時△DEF的周長．
（4）如圖4，若∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=2$\sqrt{3}$+2，請在備用圖中畫出△DEF周長最小時，點D、E、F的位置，并計算此時△DEF的周長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作點A關于直線BC的對稱點A₁，連接DA₁交BC于P，連接AP，此時PA+PD最小．作A₁E⊥DC于E，在Rt△DEA₁中利用勾股定理即可解決問題．
（2）首先證明四邊形AEDF是矩形，推出EF=AD，當AD⊥BC時，AD的長最短，求出AD的最小值即可解決問題．
（3）作點F關于直線AB的對稱點P，點F關于直線BC的對稱點Q，連接PQ交AB于E，交BC于D，連接EF、DF，此時△DEF的周長最小．只要證明△PBQ是等邊三角形即可解決問題．
（4）作BF⊥AC于F，作點F關于直線AB的對稱點P，點F關于直線BC的對稱點Q，連接PQ交AB于E，交BC于D，連接EF、DF，此時△DEF的周長最小．只要證明△PBQ是等腰直角三角形，求出PQ即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作點A關于直線BC的對稱點A₁，連接DA₁交BC于P，連接AP，此時PA+PD最小．作A₁E⊥DC于E，

∵∠CBA₁=∠BCE=∠E=90°，
∴四邊形BCEA₁是矩形，
∴AB=BA₁=EC=3，
在Rt△EDA₁中，∵∠E=90°，EA₁=6，DE=8，
∴DA₁=$\sqrt{D{E}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴PA+PD的最小值=PA₁+PD=DA₁=10．
故答案為10．

如圖2中，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∴EF=AD，
∴當AD⊥BC時，AD的長最短，
∵$\frac{1}{2}$•AB•AC=$\frac{1}{2}$•BC•AD，
∴AD=$\frac{AB•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

（3）如圖3中．

作點F關于直線AB的對稱點P，點F關于直線BC的對稱點Q，連接PQ交AB于E，交BC于D，連接EF、DF，此時△DEF的周長最小．
∴∠ABP=∠ABF，∠BCF=∠BCQ，BF=BP=BQ，
∵∠ABC=30°，
∴∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴PQ=PB=BF=4，
∴△DEF的周長的最小值=EF+ED+DQ=PE+ED+DQ=PQ=4．

（4）作BF⊥AC于F，

作點F關于直線AB的對稱點P，點F關于直線BC的對稱點Q，連接PQ交AB于E，交BC于D，連接EF、DF，此時△DEF的周長最小．
∴∠ABP=∠ABF，∠BCF=∠BCQ，BF=BP=BQ，
∵∠ABC=45
∴∠PBQ=90
∴△PBQ是等腰直角三角形，
在Rt△BCF中，∵∠BFC=90°，BC=2$\sqrt{3}$+2，∠C=60°，
∴∠CBF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$+1，BF=$\sqrt{3}$CF=3+$\sqrt{3}$，
在Rt△PBQ中，PQ=$\sqrt{2}$PB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴△DEF的周長的最小值=EF+DE+DF=PE+DE+DQ=PQ=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查三角形綜合題、軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、等邊三角形的性質和判定、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．