Question

8．如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，且BC∥QR，則∠AOQ的度數(shù)為（　�。�

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 連結(jié)OD，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得PQ=PR=QR，則∠POQ=$\frac{1}{3}$×360°=120°，根據(jù)圓內(nèi)接等邊三角形的性質(zhì)有OP⊥QR，而BC∥QR，所以O(shè)P⊥BC，根據(jù)四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，則OP⊥AD，∠AOD=90°，然后根據(jù)垂徑定理可得∠AOP=∠DOP=45°，再利用∠AOQ=∠POQ-∠AOP計(jì)算即可．

解答 解：連結(jié)OD，
∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=$\frac{1}{3}$×360°=120°，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90°，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{DP}$，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系、圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．