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6.如圖1,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過(guò)A的一條直線,且BD⊥AE于點(diǎn)D,CE⊥AE于點(diǎn)E.
(1)根據(jù)圖1試證明:△ABD≌△CAE,并說(shuō)明BD與DE,CE的關(guān)系:BD=DE=CE.
(2 )若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)(BD>CE),其余條件不變,試說(shuō)明BD與DE,CE的關(guān)系又如何?(需把證明過(guò)程寫出來(lái))

分析 (1)BD=DE-CE,根據(jù)已知利用AAS判定△ABD≌△CAE,從而得到BD=AE,AD=CE,因?yàn)锳D+AE=BD+CE,所以BD=DE-CE;
(2)BD=DE+CE成立,根據(jù)已知利用AAS判定△ABD≌△CAE,從而得到BD=AE,AD=CE,因?yàn)锳E=AD+DE,所以BD=DE+CE.

解答 解:(1)BD=DE-CE;
如圖1,

∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE,
∴∠ABD=∠CAE,
∵AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴AD+AE=BD+CE,
∵DE=BD+CE,
∴BD=DE-CE.

(2)BD=DE+CE,
如圖2,

∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∵∠ABD+∠BAE=90°,∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE,
∵AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∵AE=AD+DE,
∴BD=DE+CE.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,常用的判定方法有SSS,SAS,AAS.

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(3)如圖3,若∠ABC=30°,BF=4,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出△DEF周長(zhǎng)的最小時(shí),點(diǎn)D,E的位置,說(shuō)明畫圖的依據(jù),并計(jì)算此時(shí)△DEF的周長(zhǎng).
(4)如圖4,若∠ABC=45°,∠ACB=60°,BC=2$\sqrt{3}$+2,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出△DEF周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)D、E、F的位置,并計(jì)算此時(shí)△DEF的周長(zhǎng).

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