Question

9．已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC、BC，則tan∠CAB的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 設點A在點B的左側，過點C作CD⊥AB于點D，將y=0代入y=x²-2x-3中即可求出點A、B的坐標，再利用配方法將拋物線的解析式由一般式變形為頂點式，由此即可得出點C的坐標，結合正切的定義即可得出tan∠CAB的值．

解答 解：設點A在點B的左側，過點C作CD⊥AB于點D，如圖所示．
令y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴點A（-1，0），點B（3，0）．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點C（1，-4），
∴點D（1，0）．
∵AD=1-（-1）=2，CD=0-（-4）=4，
∴tan∠CAB=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4}{2}$=2．
故選D．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征、正切的定義以及二次函數的三種形式，根據二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的性質找出點A、B、C的坐標是解題的關鍵．