Question

9．閱讀下列材料解決問題：
若將一個整數的個位數字截去，再用余下的數減去原數個位數的2倍，如果差能被7整除，則原數能被7整除．如果不易看出能否被7整除，就需要繼續上述的過程，直到能清楚判斷為止．特別的：零能夠被任何非零數整除．
例如：判斷133能否被7整除的過程如下：13-3×2=7，∵7能被7整除，∴133能被7整除；
判斷6139能否被7整除的過程如下：613-9×2=595，59-5×2=49，∵49能被7整除，所以6139能被7整除
（1）請用上面的方法分別判斷397和1708能否被7整除，并說明理由
（2）有一個百位數字為1的三位整數，它能夠被7整除；將這個三位數的百位數字和個位數字交換后所產生的新三位整數仍能被7整除，求這個三位整數．

Answer 1

分析 （1）根據能被7整除的數的特征即可求解；
（2）找到百位數字為1的能夠被7整除的三位整數有105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196，再把它們的百位數字和個位數字交換后所產生的新三位整數，根據能被7整除的數的特征即可求解．

解答 解：（1）因為39-7×2=25，25不能被7整除，所以397不能被7整除；
因為170-8×2=154，154能被7整除，所以1708能被7整除；

（2）百位數字為1的能夠被7整除的三位整數有105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196，
因為50-1×2=48，48不能被7整除，所以501不能被7整除；
因為21-1×2=19，19不能被7整除，所以211不能被7整除；
因為91-1×2=89，89不能被7整除，所以911不能被7整除；
因為62-1×2=60，60不能被7整除，所以621不能被7整除；
因為33-1×2=31，31不能被7整除，所以331不能被7整除；
041不是三位數，不符合題意；
因為74-1×2=72，72不能被7整除，所以741不能被7整除；
因為45-1×2=43，43不能被7整除，所以451不能被7整除；
因為16-1×2=14，14能被7整除，所以161能被7整除；
因為86-1×2=84，84能被7整除，所以861能被7整除；
因為57-1×2=55，55不能被7整除，所以571不能被7整除；
因為28-1×2=26，26不能被7整除，所以281不能被7整除；
因為98-1×2=96，96不能被7整除，所以981不能被7整除；
因為69-1×2=67，67不能被7整除，所以691不能被7整除．
答：這個三位整數是161或168．

點評 本題考查的是因式分解的應用，熟知能被7整除的數的特征：數字去掉個位數，減去原個位數的2倍，計算得到的差能被7整除是解答此題的關鍵．