Question

14．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．

（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，試求出∠AEB的大小．
（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理，求得∠OAB+∠OBA=90°，根據AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，求得∠BAE+∠ABE=45°，最后在△ABE中，求得∠AEB=135°；
（2）延長AD、BC交于點F，先求得∠PAB+∠MBA=270°，再根據AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，求得∠BAD+∠ABC=135°，進而得出∠F=45°，再根據三角形內角和定理得到∠FDC+∠FCD=135°，即∠CDA+∠DCB=225°，最后根據DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，得到∠CDE+∠DCE=112.5°，進而在△CDE中，根據三角形內角和定理求得∠E=67.5°．

解答 解：（1）∠AEB的大小不變．
如圖1，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴△ABE中，∠AEB=180°-45°=135°；

（2）∠CED的大小不變．
如圖2，延長AD、BC交于點F．
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴△CDE中，∠E=180°-112.5°=67.5°．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理以及三角形外角性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：三角形內角和等于180°；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．