Question

18．如圖，邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，現有∠BFE=30°的三角板△BEF，將△BEF繞B旋轉得△BE′F′，BE′，BF′所在直線分別交線段AC于點M，N，若點C關于直線BE′的對稱點為C′，當C′N⊥AC時，AN的長為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 作輔助線，構建全等三角形，證明△ABN≌△C′BN（SAS），可知∠ANB=∠C′NB，根據C′N⊥AC證得∠ANF′=∠C′NF′=90°×$\frac{1}{2}$=45°，所以△OBN是等腰直角三角形，利用直角三角形30°角的性質求OB、ON、OA的長，從而得出AN的長．

解答 解：連接BC′、BD，設AC與BD交于O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=2，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠BAD=60°，
∴∠ABC=120°，
在Rt△BE′F′中，∵∠BF′E′=30°，
∴∠F′BE′=60°，
∴∠ABF′+∠CBE′=120°-60°=60°，
又C與C′關于BE′對稱，
∴∠C′BE′=∠CBE′，BC=BC′=2，
∴∠ABF′=∠C′BF′，AB=BC′，
在△ABN和△C′BN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC′}\\{∠ABN=∠C′BN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△C′BN（SAS），
∴∠ANB=∠C′NB，
∴∠ANF′=∠C′NF′=90°×$\frac{1}{2}$=45°，
∵∠BAN=30°，
∴∠ABF′=45°-30°=15°，
∴∠DBF′=60°-15°=45°，
∵AC⊥BD，
∴△OBN是等腰直角三角形，
∴OB=ON，
在Rt△AOB中，∵∠BAO=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴ON=OB=1，
OA=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，
∴AN=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了菱形的性質、全等三角形的性質和判定、30°的直角三角形的性質、旋轉和對稱的性質，連接C′B證明三角形全等是突破口，進而求出各角的度數，得到等腰直角三角形，從而使問題得以解決．