Question

10．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經過點A（5，$\frac{2}{3}$）、點B（9，-10），與y軸交于點C．

（1）求拋物線對應的函數表達式；
（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線BC交于點E，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；
（3）當∠PCB=90°時，作∠PCB的角平分線，交拋物線于點F．
①求點P和點F的坐標；
②在直線CF上是否存在點Q，使得以F、P、Q為頂點的三角形與△BCF相似，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經過點A（5，$\frac{2}{3}$）、點B（9，-10），運用待定系數法即可求得拋物線對應的函數表達式；
（2）根據直線BC為：y=-x-1，可設點P的坐標為（m，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1），則E（m，-m-1），進而得到PE=-$\frac{1}{3}$m²+2m-1-（-m-1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，最后根據四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積，求得點P坐標為$（\frac{9}{2}，\frac{5}{4}）$；
（3）①根據∠PCB=90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF=45°，進而得出CF∥x軸，則當y=-1時，-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1，解得F（6，-1），再根據直線CP為：y=x-1，可得當x-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1時，可得P（3，2）；
②根據直線CB：y=-x-1，直線PF：-x+5，可得CB∥PF，即可得到∠BCF=∠PFC=45°，故在直線CF上存在滿足條件的點Q，再設Q（t，-1），由題可得CF=6，CB=9$\sqrt{2}$，PF=3$\sqrt{2}$，最后分兩種情況進行討論：當△PFQ₁∽△BCF時，當△PFQ∽△FCB時，分別求得t的值，即可得出點Q的坐標為（4，-1）或（-3，-1）．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經過點A（5，$\frac{2}{3}$）、點B（9，-10），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}×25+5b+c}\\{-10=-\frac{1}{3}×81+9b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線對應的函數表達式為y=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1；

（2）由拋物線可得，C（0，-1），B（9，-10），
∴直線BC為：y=-x-1，
設點P的坐標為（m，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1），則E（m，-m-1），
∴PE=-$\frac{1}{3}$m²+2m-1-（-m-1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，
∴四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）×m+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）×（5-m）
=$\frac{5}{2}$（-$\frac{1}{3}$m²+3m）
=-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{15}{2}$m，
=-$\frac{5}{6}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{135}{8}$，
∴當m=$\frac{9}{2}$時，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1=$\frac{5}{4}$，
∴點P坐標為$（\frac{9}{2}，\frac{5}{4}）$；

（3）①過點B作BH⊥y軸于H，
∵C（0，-1），B（9，-10），
∴CH=BH=9，
∴∠BCH=45°，
∵∠PCB=90°，CF平分∠PCB，
∴∠BCF=45°，
∴∠FCH=90°，即CF∥x軸，
當y=-1時，-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1，
解得x₁=0，x₂=6，
∴F（6，-1），
∵CP⊥CB，C（0，-1），
∴直線CP為：y=x-1，
當x-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1時，解得x₁=0，x₂=3，
當x=3時，y=2，
∴P（3，2）；

②∵直線CB：y=-x-1，直線PF：y=-x+5，
∴CB∥PF，
∴∠BCF=∠PFC=45°，
∴在直線CF上存在滿足條件的點Q，
設Q（t，-1），
由題可得CF=6，CB=9$\sqrt{2}$，PF=3$\sqrt{2}$，
（ⅰ）如圖所示，當△PFQ₁∽△BCF時，
$\frac{CF}{F{Q}_{1}}$=$\frac{BC}{PF}$，即$\frac{6}{6-t}$=$\frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得t=4，
∴Q₁（4，-1）；
（ⅱ）如圖所示，當△PFQ∽△FCB時，
$\frac{CF}{FP}$=$\frac{BC}{{Q}_{2}F}$，即$\frac{6}{3\sqrt{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{6-t}$，
解得t=-3，
∴Q₂（-3，-1）．
綜上所述，點Q的坐標為（4，-1）或（-3，-1）．

點評 本題屬于二次函數綜合題，主要考查了二次函數的綜合應用，相似三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想．