Question

2．設非負實數x，y，z滿足x+y+z=1，則t=$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+{y}^{2}}$+$\sqrt{1+{z}^{2}}$的最小值為$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 把t=$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+{y}^{2}}$+$\sqrt{1+{z}^{2}}$平方，根據柯西不等式放縮，結合已知求的最值．

解答 解：∵x+y+z=1，則t=$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+{y}^{2}}$+$\sqrt{1+{z}^{2}}$，
∴t²=x²+y²+z²+14+2（$\sqrt{（{x}^{2}+9）（{y}^{2}+4）}$+$\sqrt{（{y}^{2}+4）（{z}^{2}+1）}$+$\sqrt{（{x}^{2}+9）（{z}^{2}+1）}$）
≥x²+y²+z²+14+2（xy+6+yz+2+xz+3）
=（x+y+z）²+36
=37，
t≥$\sqrt{37}$（當且僅當$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{y}{z}$=2，$\frac{z}{x}$=$\frac{1}{3}$時，等號成立），
故答案為：$\sqrt{37}$．

點評 本題考查了無理數的最值，利用柯西不等式求最值是解題關鍵．