Question

13．如圖，已知：在矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求：∠ODC和∠BOF的度數．

Answer 1

分析 根據DF平分∠ADC與∠BDF=15°可以計算出∠ODC=60°，再根據矩形的對角線相等且互相平分可得OD=OC，從而得到△OCD是等邊三角形，再證明△COF是等腰三角形，求出∠CFO=75°，即可得出∠BOF的度數．

解答 解：∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF．
∵∠BDF=15°，
∴∠ODC=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，
在矩形ABCD中，OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC=CD，∠OCD=∠COD=60°，
∴OC=CF，∠BOC=120°，∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°，
在△COF中，∠CFO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠BOF=∠BOC-∠CFO=120°-75°=45°．

點評 本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義，鄰補角的性質，三角形內角和定理，熟記各性質并判斷出△OCD是等邊三角形是解決本題的關鍵．