Question

1．已知：如圖，在銳角△ABC中，BD，CE分別是△ABC的AC，AB邊上的高，在CE上截取CP=AB，過點P作PG⊥BC于G點，在BD的延長線上截取BQ=AC，過點Q作QF⊥BC于F點，求證：PG+QF=BC．

Answer 1

分析 如圖，作AM⊥BC于M．只要證明△PCG≌△BAM，推出PG=BM，同理可證△BQF≌△ACM，推出CM=FQ，推出PG+QF=BM+CM=BC．

解答 證明：如圖，作AM⊥BC于M．

∵CE⊥AB，PG⊥BC，AM⊥BC，
∴∠AMB=∠PGC=∠CEB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠ABM+∠PCG=90°，
∴∠BAM=∠PCG，
在△PCG和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCG=∠BAM}\\{∠PGC=∠AMB}\\{PC=AB}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△BAM（AAS），
∴PG=BM，
同理可證△BQF≌△ACM，
∴CM=FQ，
∴PG+QF=BM+CM=BC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的高等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．