Question

10．閱讀下面的解題過程：
已知$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$的值．
解：由$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$知x≠0，所以$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=2，即x+$\frac{1}{x}$=2．
∴$\frac{{x}^{4}+1}{{x}^{2}}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=2²-2=2，故$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$的值為$\frac{1}{2}$
評注：該題的解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解下面的題目：
已知$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{1}{7}$，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 首先根據解答例題可得$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$=7，進而可得x+$\frac{1}{x}$=8，再求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的倒數的值，進而可得答案．

解答 解：∵$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{1}{7}$，
∴$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$=7，
x+$\frac{1}{x}$=8，
∵$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1=（x+$\frac{1}{x}$）²-2+1=8²-1=63，
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{63}$．

點評 此題主要考查了分式的混合運算，關鍵是理解例題的解法，掌握解題方法后，再根據例題方法解答．