Question

1．RT△ABC中，∠ABC=30°，CD⊥AB，將△ACD繞A旋轉(zhuǎn)至△AC′D′，連接D′C，M、N分別是BC′和D′C的中點，連接MN，探索D′C和MN的數(shù)量及位置關(guān)系．

Answer 1

分析 結(jié)論：MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD′，MN⊥CD′．如圖，延長C′D′到F，使得D′F=CD，連接AF、BF，延長D′M到E，使得ME=MD′，連接BE，延長AD′交BC于點O，交BE的延長線于H，連接CM．首先證明△BAF∽△CAD′，推出$\frac{BF}{CD′}$=$\frac{AB}{AC}$=2，推出BF=2CD′，由C′D′=D′F，C′M=MB，推出BF=2D′M，推出CD′=D′M，由△C′MD′≌△BME，
推出∠EBM=∠D′C′M，EB=C′D′=D′F，推出BE∥C′F，推出四邊形BED′F是平行四邊形，再證明△CBE∽△CAD′，推出∠ACD′=∠BCE，∠D′CE=∠ACB=90°，由ED′=2CD′，推出∠CED′=30°，∠CD′M=60°，推出△CMD′是等邊三角形，由此即可解決問題．

解答 解：結(jié)論：MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD′，MN⊥CD′．
理由：如圖，延長C′D′到F，使得D′F=CD，連接AF、BF，延長D′M到E，使得ME=MD′，連接BE，延長AD′交BC于點O，交BE的延長線于H，連接CM．

∵AD′⊥C′F，C′D′=D′F，
∴AC′=AF，
∴∠D′AC′=∠D′AF=∠CAB=60°，
∴∠CAD′=∠BAF，
∵$\frac{AF}{AD′}$=$\frac{AB}{AC}$=2，
∴△BAF∽△CAD′，
∴$\frac{BF}{CD′}$=$\frac{AB}{AC}$=2，
∴BF=2CD′，
∵C′D′=D′F，C′M=MB，
∴BF=2D′M，
∴CD′=D′M，
在△C′MD′和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{C′M=BM}\\{∠C′MD′=∠EMB}\\{D′M=ME}\end{array}\right.$，
∴△C′MD′≌△BME，
∴∠EBM=∠D′C′M，EB=C′D′=D′F，
∴BE∥C′F，
∴四邊形BED′F是平行四邊形，
∴BF=ED′，
∵AD′⊥C′F，
∴BH⊥AH，
∵∠ACO=∠OHB，∠AOC=∠BOH，
∴∠CAO=∠OBH，
∵$\frac{BE}{AD′}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴△CBE∽△CAD′，
∴∠ACD′=∠BCE，
∴∠D′CE=∠ACB=90°，
∵ED′=2CD′，
∴∠CED′=30°，∠CD′M=60°，
∴△CMD′是等邊三角形，
∵D′N=CN，
∴MN⊥CD′，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD′．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換．全等三角形的判定和性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角性質(zhì)．平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，題目比較難，屬于競賽題目．