Question

6．如圖，已知A點坐標為（$\sqrt{3}$，0），直線y=x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α=60°，則b的值為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$-3
• B． $\sqrt{3}$+3
• C． 2$\sqrt{3}$+3
• D． 2$\sqrt{3}$-3

Answer 1

分析 令直線y=x+b與x軸交于點C，根據直線的解析式可求出點B、C的坐標，進而得出∠BCO=45°，再通過角的計算得出∠BAO=15°，以BA為邊在∠ABO內部作∠ABD=∠BAO=15°，可設AD=BD=x，得OD=OA-AD=$\sqrt{3}$-x，在Rt△BOD中根據cos∠BDO=$\frac{OD}{BD}$求得x，即可得BD的長，再根據BO=BDsin∠BDO可得答案．

解答 解：令直線y=x+b與x軸交于點C，
令y=x+b中x=0，則y=b，
∴B（0，b）；
令y=x+b中y=0，則x=-b，
∴C（-b，0）．
∴∠BCO=45°．
∵α=∠BCO+∠BAO=60°，
∴∠BAO=15°，

如圖，以BA為邊在∠ABO內部作∠ABD=∠BAO=15°，
設AD=BD=x，
∴OD=OA-AD=$\sqrt{3}$-x，
在Rt△BOD中，∵∠BDO=∠ABD+∠BAO=30°，
∴cos∠BDO=$\frac{OD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{3}-x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x=4$\sqrt{3}$-6，即BD=4$\sqrt{3}$-6，
∴BO=BDsin∠BDO=（4$\sqrt{3}$-6）×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$-3，
故選：D．

點評 本題主要考查三角形的外角性質、特殊角的三角函數值以及一次函數的斜率的幾何意義．解題時，注意挖掘隱含在題干中的已知條件∠BCA=45°及在直角三角形中構造30°的內角是解題的關鍵．