Question

3．如圖1，分別以矩形OABC的兩邊OA和OC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，A點的坐標為（3，0），C點的坐標為（0，4），將矩形OABC繞O點逆時針旋轉，使B點落在y軸的正半軸上，旋轉后的矩形為OA₁B₁C₁，BC、A₁B₁相交于點M．
（1）求點B₁的坐標與線段B₁C的長；
（2）將圖1的矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于點M₁，點P運動到C點停止．設點P運動的距離為x，矩形PA₂B₂C₂與矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用勾股定理求矩形OABC的對角線OB長，得點B₁的坐標；B₁C=B₁O-OC；
（2）求分段函數，以A₂落在BC上的時刻為界，將函數分為兩段，畫出圖形，分別求函數解析式．

解答 解：（1）如圖1，∵OB₁=OB=5，
∴點B1的坐標為（0，5），
∵C（0，4），
∴OC=4，
∴B₁C=OB₁-OC=5-4=1；

（2）在矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移到P點與C點重合的過程中，點A₁運動到矩形OABC的邊BC上時，
重疊部分的面積為△PA₂C的面積，A₂C=$\frac{12}{5}$，
∵A₂P=3，
根據勾股定理得：CP=$\frac{9}{5}$，即4-x=$\frac{9}{5}$，
∴P點移動的距離x=$\frac{11}{5}$，
當自變量x的取值范圍為0≤x＜$\frac{11}{5}$時，
如圖2，由△B₂CM₁∽△B₂A₂P，
得CM₁=$\frac{3+3x}{4}$，
此時，y=S_△B2A2P-S_△B2CM1=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{3+3x}{4}$（1+x），
即y=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+6，
當自變量x的取值范圍為$\frac{11}{5}$≤x≤4時，
∴y=S_△PCM1′=$\frac{2}{3}$（x-4）²．

點評 本題主要考查圖形的旋轉、平移、相似三角形的判定與性質、勾股定理的綜合應用，正確的理解題意是解決問題的關鍵．