Question

8．在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，BD=BA，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）過點(diǎn)C作CG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于G，求證：△BCG是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由BD=BA，E是AD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BE⊥AD，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半即可證明EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）先由CG∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠G=∠FEB，又EF=$\frac{1}{2}$BC=BF，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠FEB=∠CBE，等量代換得到∠G=∠CBE，那么GC=BC，即△BCG是等腰三角形．

解答 證明：（1）∵BD=BA，E是AD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AD，
∴△EBC為直角三角形．
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴EF是直角三角形斜邊上中線
∴EF=$\frac{1}{2}$BC；

（2）∵CG∥EF，
∴∠G=∠FEB，
∵EF=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴∠FEB=∠CBE，
∴∠G=∠CBE，
∴GC=BC，
∴△BCG是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．得出BE⊥AD是證明（1）的關(guān)鍵；得出∠G=∠CBE是證明（2）的關(guān)鍵．