Question

19．如圖，∠PAQ=∠MBN=30°，∠MBN的頂點B在射線AP上，射線BM和射線BN分別交射線AQ于點C、D，當∠MBN繞點B轉(zhuǎn)動時．若AB=2$\sqrt{3}$，則CA•CD的最小值是（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 12

Answer 1

分析 由∠PAQ=∠MBN=30°、∠ACB=∠BCD證△ABC∽△BDC得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，即CA•CD=BC²，當BC⊥AQ時，BC取得最小值，結(jié)合Rt△ABC中AB=2$\sqrt{3}$、∠A=30°得BC的最小值為$\sqrt{3}$，即可得答案．

解答 解：∵∠PAQ=∠MBN=30°，∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，即CA•CD=BC²，
而當BC⊥AQ時，BC取得最小值，
此時在Rt△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，∠A=30°，
∴BC的最小值為$\sqrt{3}$，
則CA•CD的最小值為3，
故選：A．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、點到直線的距離，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出CA•CD=BC²，且明確BC⊥AQ時BC取得最小值是解題的關(guān)鍵．