Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，點E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，動點P從點A出發，沿邊AC以每秒2個單位長的速度向終點C運動，同時動點F從點C出發，在線段CD上以每秒1個單位長的速度向終點D運動，設運動時間為t秒．
（1）線段AC的長=6；
（2）當△PCF與△EDF相似時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥AC于H，如圖，易得四邊形CDEH為矩形，從而得到CH=DE=2，EH=CD=3，然后利用勾股定理計算出AH即可得到AC的長；
（2）CF=t，PA=2t，則DF=3-t，CP=6-2t，0＜t＜3，由于∠C=∠FDE，根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可分類討論：若$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CP}{DE}$時，△CFP∽△DFE，若$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CP}{DE}$，則△CFP∽△DEF，然后分別利用相似比得到關于t的方程，再解方程求出t即可．

解答 解：（1）作EH⊥AC于H，如圖，
∵∠C=90°，DE∥AC，
∴四邊形CDEH為矩形，
∴CH=DE=2，EH=CD=3，
在Rt△AEH中，AH=$\sqrt{A{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AC=CH+AH=2+4=6；
（2）CF=t，PA=2t，則DF=3-t，CP=6-2t，0＜t＜3，
∵∠C=∠FDE，
∴當$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CP}{DE}$時，△CFP∽△DFE，即$\frac{t}{3-t}$=$\frac{6-2t}{2}$，整理得t²-7t+9=0，解得t₁=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，t₂=$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$（舍去），
∴當$\frac{CF}{DE}$=$\frac{CP}{DE}$時，△CFP∽△DEF，即$\frac{t}{2}$=$\frac{6-2t}{3-t}$，t=4（舍去），
綜上所述，t的值為$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．也考查了勾股定理．